Question

【题目】已知：如图，在平行四边形中，点E在BC边上，连接AE．O为AE中点，连接BO并延长交AD于F．

（1）求证：△AOF≌△BOE，

（2）判断当AE平分∠BAD时，四边形ABEF是什么特殊四边形，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）求证：见解析；（2）四边形ABEF是菱形，见解析.

【解析】

(1)先利用平行四边形的性质得AD∥BC，则∠AFB＝∠CBF，然后根据“AAS”可判断△AOF≌△BOE；

(2)利用△AOF≌△BOE得到FO＝BO，则可根据对角线互相平分可判定四边形ABEF是平行四边形，根据AE平分∠BAD，得∠BAE＝∠FAE，又∠FAE＝∠AEB，得∠BAE＝∠AEB，AB＝BE，有一组对边相等的平行四边形是菱形，得四边形ABEF是菱形．

(1)∵O为AE中点，

∴AO＝EO，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AFB＝∠CBF，

在△AOF和△BOE中

，

∴△AOF≌△BOE；

(2)四边形ABEF是菱形，理由如下：

∵△AOF≌△BOE，

∴FO＝BO，

而AO＝EO，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠FAE，

∵∠FAE＝∠AEB，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE，

∴四边形ABEF是菱形．