Question

8．已知方程x²+ax+b+2=0与方程x²+3ax+6a²+b=0两根的平方和相等，求a与b的取值范围．

Answer 1

分析 设方程x²+ax+b+2=0的两根分别为α，β，根据根与系数的关系得到α+β=-a，αβ=b+2，那么α²+β²=（α+β）²-2αβ=a²-2（b+2），设方程x²+3ax+6a²+b=0的两根分别为m、n，根据根与系数的关系得到m+n=-3a，mn=6a²+b，再由m²+n²=（m+n）²-2mn=9a²-2（6a²+b），所以a²-2（b+2）=9a²-2（6a²+b），解得a₁=-1，a₂=1，然后根据判别式确定满足条件的a的值．

解答 解：设方程x²+ax+b+2=0的两根分别为α，β，
则α+β=-a，αβ=b+2，
α²+β²=（α+β）²-2αβ=a²-2（b+2），
设方程x²+3ax+6a²+b=0的两根分别为m、n，
则m+n=-3a，mn=6a²+b，
m²+n²=（m+n）²-2mn=9a²-2（6a²+b），
由题意得a²-2（b+2）=9a²-2（6a²+b），
解得a₁=-1，a₂=1．
当a=1时，方程x²+ax+b+2=0与方程x²+3ax+6a²+b=0为x²+x+b+2=0，x²+3x+6+b=0，
△=1-4×（b+2）≥0，△=9-4×（6+b）≥0，
解得b≤-$\frac{7}{4}$，b≤-$\frac{15}{4}$，
则b≤-$\frac{15}{4}$；
当a=-1时，方程x²+ax+b+2=0与方程x²+3ax+6a²+b=0为x²-x+b+2=0，x²-3x+6+b=0，
△=1-4×（b+2）≥0，△=9-4×（6+b）≥0，
解得b≤-$\frac{7}{4}$，b≤-$\frac{15}{4}$，
则b≤-$\frac{15}{4}$；
综上所述，a=±1，b≤-$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．