Question

19．已知正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，点B坐标为（10，10），点P从O出发沿O→C→B运动，速度为1个单位每秒，连接AP．设运动时间为t．
（1）若抛物线y=-（x-h）²+k经过A、B两点，求抛物线函数关系式；
（2）当0≤t≤10时，如图1，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交边BC于点D，连接AD，PD，设△APD的面积为S，求S的最小值；
（3）在图2中以A为圆心，OA长为半径作⊙A，当0≤t≤20时，过点P作PQ⊥x轴（Q在P的上方），且线段PQ=t+12：
①当t在什么范围内，线段PQ与⊙A只有一个公共点？当t在什么范围内，线段PQ与⊙A有两个公共点？
②请将①中求得的t的范围作为条件，证明：当t取该范围内任何值时，线段PQ与⊙A总有两个公共点．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=-（x-h）²+k经过A、B两点，即可得到抛物线的对称轴，把点B坐标（10，10）代入，即可得到抛物线函数关系式；
（2）先根据△AOP≌△OCD，得出OP=CD=t，进而得到CP=10-t，BD=10-t，再根据S_△ADP=S_{正方形ABCO}-S_△AOP-S_△ABD-S_△CDP，可得当0≤t≤10时，S=$\frac{1}{2}$t²-5t+50，最后配方，得S的最小值；
（3）①根据点Q落在⊙A上时t的值，以及点P与点C重合，与点B重合时t的值，即可得到线段PQ与⊙A只有一个公共点时，t的取值范围，以及线段PQ与⊙A有两个公共点时，t的取值范围；②证明线段与圆由2个公共点需要证明两点：圆与线段所在直线相交（有2个公共点）；线段的两端点都在圆外．

解答 解：（1）∵抛物线y=-（x-h）²+k经过A、B两点，
∴根据对称性可知h=5，
将B（10，10）代入y=-（x-5）²+k，可得10=-25+k，
解得k=35，
∴抛物线函数关系式为y=-（x-5）²+35；

（2）如图1，∵OD⊥AP，∠AOP=90°，

∴∠OAP+∠AOD=∠COD+∠AOD=90°，
∴∠OAP=∠COD，
又∵∠AOP=∠OCD=90°，AO=OC，
∴△AOP≌△OCD，
∴OP=CD=t，
∴CP=10-t，BD=10-t，
∵S_△ADP=S_{正方形ABCO}-S_△AOP-S_△ABD-S_△CDP，
∴当0≤t≤10时，S=10×10-$\frac{1}{2}$×10t-$\frac{1}{2}$t（10-t）-$\frac{1}{2}$×10（10-t）=$\frac{1}{2}$t²-5t+50，
配方，得S=$\frac{1}{2}$（t-5）²+$\frac{75}{2}$，
∴当t=5时，S_min=$\frac{75}{2}$；

（3）①如图，当点Q在⊙A上时，连接AQ，

∵PQ=12+t，PR=BC=10，
∴RQ=2+t，
又∵AQ=AB=10，AR=OP=t，
∴Rt△ARQ中，t²+（t+2）²=10²，
解得t₁=6，t₂=-8（舍去），
∴当t=6时，点Q落在⊙A上；
如图，当P在CB上时，CQ与⊙A相切，

当点P与点C重合时，t=10；当点P与点B重合时，t=20；
∴当0≤t＜6或10≤t≤20时，线段PQ与⊙A只有一个公共点；
当6≤t＜10时，线段PQ与⊙A有两个公共点；
②如图，当6≤t＜10时，AR=t＜10，

∴⊙A与直线PQ相交，
又∵AP²=AO²+OP²=100+t²，即AP＞10，
∴点P在⊙A外，
又∵AQ²=AR²+RQ²=t²+（t+2）²，r²=100，
∴AQ²-r²=t²+（t+2）²-100=2（t+1）²-98，
∴当6≤t＜10时，2（t+1）²-98≥0，
∴点Q在⊙A上或⊙A外，
综上所述，当6≤t＜10时，线段PQ与⊙A总有两个公共点．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法的运用，二次函数的最值，直线与圆的位置关系以及勾股定理的综合应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．