Question

10．如图，点P在双曲线y=$\frac{4}{x}$上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF-OE的值是（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 利用P点在双曲线y=$\frac{4}{x}$上且以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切求出P点，再利用△BPE≌△APF列出OE与OF之间的关系即可．

解答 解：设E（0，y），F（x，0）其中y＜0，x＞0
∵点P在双曲线y=$\frac{4}{x}$上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，
∴P（ 2，2），
又∵PF⊥PE，
∴∠EPF=90°，
∵∠BPE+∠EPA=90°，
∴∠EPA+∠FPA=90°，
∴∠FPA=∠BPE，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EPB=∠FPA}\\{BP=AP}\\{∠EBP=∠PAF}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△APF（ASA），
∴AF=BE，
∴OF-OA=BE，
即x-2=2-y，
∴x+y=4，
又∵OE=|y|=-y，OF=x，
∴OF-OE=x+y=4．
故选：C．

点评 此题主要考查了反比例函数与全等三角形的判定与性质的综合运用，要熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．