Question

【题目】已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点．

①求证：EF与GH互相平分；

②当四边形ABCD的边满足____________条件时，EF⊥GH．(不必证明)

Answer 1

【答案】①证明见解析；②AB=CD

【解析】

①连接GE、GF、HF、EH，利用三角形中位线性质得出EG=CD，FG=AB，FH=CD，EH=AB，由此证明出EG=FH，FG=EH，从而得出四边形FGEH为平行四边形，据此即可证明结论；

②根据菱形的性质可知对角线互相垂直，由此结合三角形中位线性质进一步求解即可.

①如图，连接GE、GF、HF、EH，

∵E、G分别为BC、BD中点，

∴EG=CD，

同理可得：FG=AB，FH=CD，EH=AB，

∴EG=FH，FG=EH，

∴四边形FGEH为平行四边形，

∴EF与GH互相平分；

②当EF⊥GH时，平行四边形FGEH为菱形，

此时GF=GE=FH=EH，

∵EG=CD，FG=AB，FH=CD，EH=AB，

∴AB=CD，

∴当四边形ABCD的边满足AB=CD时，EF⊥GH，

故答案为：AB=CD.