Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

（1）求证：△AEF≌△DEC；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形，理由见解析

【解析】

（1）利用平行线性质得出∠AFE=∠DCE，然后结合题意可知AE=DE，由此进一步证明△AEF与△DEC全等即可；

（2）首先根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD为平行四边形，然后进一步根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”得出∠ADB=90°，最后根据等腰三角形“三线合一”可知需要AB=AC，由此即可得出答案.

（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵点E是AD中点，

∴AE=DE，

在△AEF与△DEC中，

∵∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，

∴△AEF△DEC（AAS）；

（2）当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形，理由如下：

∵△AEF△DEC，

∴AF=DC，

∵AF=BD，

∴DC=BD，

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四边形AFBD为平行四边形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴平行四边形AFBD为矩形.