Question

10．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
（1）△ADE是等腰三角形吗？请说明理由；
（2）AD与BE垂直吗？请说明理由？

Answer 1

分析 （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=DE，再根据等腰三角形的定义解答；
（2）利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△DBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=BD，然后根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上解答．

解答 （1）解：△ADE是等腰三角形．
理由如下：∵∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
∴AE=DE，
∴△ADE是等腰三角形；

（2）AD⊥BE．
理由如下：在Rt△ABE和Rt△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AB=BD，
又∵AE=DE，
∴AD⊥BE．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．