Question

16．如图，弓形ABC中，∠BAC=60°，BC=2$\sqrt{3}$．若点P在优弧BAC上由点B移动到点C，记△PBC的内心为I，点I随点P的移动所经过的路径长为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$π
• B． $\frac{4}{3}$π
• C． $\frac{8}{3}$π
• D． 4π

Answer 1

分析 作辅助线，先确定点I的轨迹是以点D为圆心，以OD为半径的弧CIB长，先求半径OD的长，再根据弧长公式求出弧CIB的长为$\frac{4}{3}$π．

解答 解：如图，将圆补全，过点O作OD⊥BC交⊙O于点D，设I为△PBC的内心连接BI、连接PD、连接BO、连接CO、连接BD、连接CD、连接PB、连接PC，
∵DO⊥BC，
∴BD=CD，∠BPD=∠CPD，
∵∠PBI+∠BPI=∠BID，∠DBC+∠CBI=∠IBD，∠BPD=∠BCD，
∴∠DBI=∠BID，
∴ID=BD，
∵∠BAC=60°，BC=2$\sqrt{3}$，
∴∠BOD=60°，△BDO是等边三角形，
∴BO=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2，∠BDC=120°，
∴BD=BO=ID=2，
∴动点I到定点D的距离为2，即点I随点P的移动所经过的路径长是：以点D为圆心，2为半径的弧CIB，
弧CIB的长为：$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π，
故选B．

点评 此题主要考查了点的轨迹、圆心角、圆周角定理以及三角形内心的性质等知识，本题需仔细分析题意，结合图形，得出I的运动路径即可解决问题．