Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A的一条直线，BD⊥AE与D，CE⊥AE与E，
（1）若D，E在BC的同侧，探索BD，CE，DE的关系，并加以证明
（2）若D，E分布在BC两侧，问题（1）成立吗？若不成立，则关系又是如何呢？并加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证∠EAC=∠ABD，即可求证△ABD≌△CAE，根据全等三角形相等的性质即可解题．
（2）根据全等三角形的判定得到可得△ABD≌△CAE，利用全等的性质得BD=AE，AD=CE，由AE=AD+DE，即可得到BD=DE+CE．

解答： 解：（1）DE=BD+CE．理由如下：
如图1，∵∠DAB+∠EAC=90°，∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠EAC=∠ABD，
在△ABD和△CAE中，

∠ADB=∠CEA=90° ∠ABD=∠EAC AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=AD，
∵DE=AD+AE，
∴DE=BD+CE；

（2）（1）中的关系不成立，应该是BD=DE+CE．理由如下：
如图2，∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中

∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠AEC AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CAE是解题的关键．