Question

如图，在锐角△ABC的边上分别作等腰Rt△ABP和等腰Rt△AQC．其中∠APB、∠AQC都是直角，M是BC中点，连PM、QM、PQ．求证：△PMQ为等腰三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：作AB的中点D，AC的中点E 连MD，ME PD，QE，根据三角形的中位线定理和直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明PD=ME，EQ=MD，根据平行线的性质以及角的和差即可证明∠MDP=∠QEM，从而证明△MDP≌△QEM，即可证明△PMQ是等腰三角形．

解答： 证明：作AB的中点D，AC的中点E 连MD，ME PD，QE，
则有MD=

1

2

AC ME=

1

2

AB．
∵△ABP和△ACQ是等腰直角三角形，
∴PD=

1

2

AB，QE=

1

2

AC，
∴PD=ME，EQ=MD．
又∵MD∥AC 则
∴∠MDB=∠BAC．
同理∠MEC=∠BAC，
∴∠MDP=∠MDB+90°=∠MEC+90°=∠MEQ
在△MDP和△QEM中，

PD=ME ∠PDM=∠MEQ DM=EQ

，
∴△MDP≌△QEM（SAS）．
∴MP=QM，△PMQ是等腰三角形．

点评：本题考查了三角形的中位线定理以及全等三角形的判定与性质的综合应用，证明线段相等的问题最常见的思路是转化为证明三角形全等．