Question

14．某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：

	原进价（元/张）	零售价（元/张）	成套售价（元/套）
餐桌	a	270	500元
餐椅	a-110	70

已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？

Answer 1

分析 （1）根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进餐桌x张，餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据“总利润=成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设本次成套销售量为m套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系找出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）由题意得$\frac{600}{a}$=$\frac{160}{a-110}$，
解得a=150，
经检验，a=150是原分式方程的解；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．
由题意得：x+5x+20≤200，
解得：x≤30．
∵a=150，
∴餐桌的进价为150元/张，餐椅的进价为40元/张．
依题意可知：
W=$\frac{1}{2}$x•（500-150-4×40）+$\frac{1}{2}$x•（270-150）+（5x+20-$\frac{1}{2}$x•4）•（70-40）=245x+600，
∵k=245＞0，
∴W关于x的函数单调递增，
∴当x=30时，W取最大值，最大值为7950．
故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．
（3）涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元，
设本次成套销售量为m套．
依题意得：（500-160-4×50）m+（30-m）×（270-160）+（170-4m）×（70-50）=7950-2250，
即6700-50m=5700，解得：m=20．
答：本次成套的销售量为20套．

点评 本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式、一次函数的性质及解一元一次方程，解题的关键是：（1）由数量相等得出关于a的分式方程；（2）根据数量关系找出W关于x的函数解析式；（3）根据数量关系找出关于m的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式（方程或方程组）是关键．