Question

5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC，交AC于点E，AD交BE于点F，若已知AD=AB．
（1）求证：∠CAD=∠ABE；
（2）求证：AF=DF．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质得到CE=BE，由等腰三角形的性质得到∠C=∠CBE，∠ADB=∠ABD，于是得到结论；
（2）过F点作BC的平行线交AC于M、交AB于N，根据平行线的性质得到∠C=∠AMF，∠BFN=∠DBF，等量代换得到∠AMF=∠BFN，根据相似三角形的性质得到$\frac{MF}{CD}=\frac{AF}{AD}=\frac{FN}{BD}$，推出FM=FN，根据全等三角形的性质得到AF=BN，根据线段的和差即可得到结论．

解答 解：（1）∵D是BC边的中点，DE⊥BC，
∴CE=BE，
∴∠C=∠CBE，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
∵∠ADB=∠CAD+∠C，∠ABC=∠ABE+∠DBE，
∴∠CAD=∠ABE；

（2）过F点作BC的平行线交AC于M、交AB于N，
∵MN∥BC，
∴∠C=∠AMF，∠BFN=∠DBF，
∵∠C=∠CBE，
∴∠AMF=∠BFN，
∵MN∥BC，
∴△AMF∽△ACD，△AFN∽△ADB，
∴$\frac{MF}{CD}=\frac{AF}{AD}=\frac{FN}{BD}$，
∵CD=BD，
∴FM=FN，
在△AFM与△BFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMF=∠BFN}\\{∠MAF=∠NBF}\\{MF=FN}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△BFN
∴AF=BN，
∵△ABD是等腰三角形，
∴BN=DF，
∴AF=DF．

点评 本题考查了线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判断和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．