Question

3．定义：a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数．如：2的差倒数是$\frac{1}{1-2}=-1$，-1的差倒数是$\frac{1}{{1-（{-1}）}}=\frac{1}{2}$．已知a₁=-3，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推，则a₂₀₁₁=-3．

Answer 1

分析 根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2011除以3，根据余数的情况确定出与a₂₀₁₁相同的数即可得解．

解答 解：∵a₁=-3，
∴a₂=$\frac{1}{1-（-3）}$=$\frac{1}{4}$，
a₃=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
a₄=$\frac{1}{1-\frac{4}{3}}$=-3，
…
2011÷3=670…1．
∴a₂₀₁₁与a₁相同为-3．
故答案为：-3．

点评 本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．