Question

14．如图，已知AD⊥DE，BE⊥DE，∠DAB与∠ABE的平分线交于C点．
（1）若交点C在DE上时，猜想：AB、AD、BE存在怎样的数量关系，并证明猜想．
（2）若交点C在四边形内部时，直接写出AB、AD、BE的数量关系．
（3）若交点C在四边形外部时，直接写出AB、AD、BE的数量关系．

Answer 1

分析 （1）作CF⊥AB于F；根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）作CF⊥AB于F，过C作MN∥DE交AD于M，交BE于N，同（1）得出AM+BN=AB，再由AM＜AD，BN＜BE，即可得出结论；
（3）同（1）得出AM+BN=AB，再由AM＞AD，BN＞BE，即可得出结论．

解答 解：（1）AD+BE=AB；理由如下：如图1所示：作CF⊥AB于F；
∵AD⊥DE，AC平分∠DAB，
∴CD=CF，
在Rt△ADC和Rt△AFC中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}&{\;}\\{CD=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADC≌Rt△AFC（HL），
∴AD=AF，同理：BE=BF，
∴AD+BE=AF+BF=AB；
（2）AD+BE＞AB；理由：
作CF⊥AB于F，过C作MN∥DE交AD于M，交BE于N，如图2所示：
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴CM⊥AD，CN⊥BE，
同（1）得：AM+BN=AB，
∵AM＜AD，BN＜BE，
∴AD+BE＞AM+BN，
∴AD+BE＞AB；
（3）AD+BE＜AB；如图3所示：
理由：作CF⊥AB于F，过C作MN∥DE交AD于M，交BE于N，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴CM⊥AD，CN⊥BE，
同（1）得：AM+BN=AB，
∵AM＞AD，BN＞BE，
∴AD+BE＜AM+BN，
∴AD+BE＜AB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质；通过作辅助线运用角平分线的性质是解决问题的关键．