Question

如图，已知AB、AC是⊙O的弦，AD平分∠BAC交⊙O于D，弦DE∥AB交AC于P，求证：OP平分∠APD．

Answer 1

考点：圆的认识,平行线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：作OM⊥AC于M，ON⊥DE于N，如图，由∠BAD=∠CAD，根据圆周角定理得CD弧=BD弧，由DE∥AB得∠ADE=∠BAD，得到AE弧=BD弧，所以AE弧=CD弧，则AC弧=ED弧，根据圆心角、弦、弧的关系得到AC=DE，然后根据在同圆或等圆中，相等的弦所对应的弦心距相等得到OM=ON，再根据角平分线定理的逆定理可判断
OP平分∠APD．

解答：证明：作OM⊥AC于M，ON⊥DE于N，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CD弧=BD弧，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴AE弧=BD弧，
∴AE弧=CD弧，
∴AE弧+EC弧=EC弧+CD弧，即AC弧=ED弧，
∴AC=DE，
∴OM=ON，
∴OP平分∠APD．

点评：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．可以利用角平分线定理的逆定理证明角的平分线．