Question

5．在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD．
（1）如图1，请连接AC，BD，求证：AC垂直平分BD；
（2）如图2，若∠BCD=60°，∠ABC=90°，E，F分别为边BC，CD上的动点，且∠EAF=60°，AE，AF分别与BD交于G，H，求证：△AGH∽△AFE；
（3）如图3，在（2）的条件下，若 EF⊥CD，直接写出$\frac{GH}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接BD、AC．只要证明点A、点B在线段BD的垂直平分线上即可；
（2）如图2中，将△ABE绕点A逆时针旋转120得到△ADM．连接AC交BD于O．首先证明△FAE≌△FAM，再证明∠AGO=∠ADF，即可解决问题；
（3）如图3中，连接AC交BD于O，作HM⊥AD于M．由（2）可知∠AFD=∠AFE=∠AGO=45°，由∠ADF=90°，可得AD=DF，设HM=AM=a，则DH=2a，DM=$\sqrt{3}$a，想办法求出GH、BD（用a表示），即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，连接BD、AC．

∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
即AC垂直平分线段BD．

（2）如图2中，将△ABE绕点A逆时针旋转120得到△ADM．连接AC交BD于O．

∵B、D关于AC对称，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠BCD=60°，
∴∠BAD=120°，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAM=60°，
∴∠FAE=∠FAM，
∵∠ADM=∠ABE=90°=∠ADF，
∴F、D、M共线，
∵FA=FA，AE=AM，
∴△FAE≌△FAM，
∴∠AFE=∠AFM，
∵∠CAD=∠CAB=60°=∠EAF，
∴∠GAO=∠DAF，
∵∠AGO+∠GAO=90°，∠AFD+∠FAD=90°，
∴∠AGO=∠ADF，
∴∠AGH=∠AFE，∵∠GAH=∠FAE，
∴△AGH∽△AFE．

（3）解：如图3中，连接AC交BD于O，作HM⊥AD于M．

∵EF⊥CD，
∴∠EFD=90°，
由（2）可知∠AFD=∠AFE=∠AGO=45°，
∵∠ADF=90°，
∴AD=DF，设HM=AM=a，则DH=2a，DM=$\sqrt{3}$a，
在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=（1+$\sqrt{3}$）a，
∴CD=BD=$\sqrt{3}$AD=（3+$\sqrt{3}$）a，
在Rt△AHD中，∵∠ADH=30°，AD=（1+$\sqrt{3}$）a，
∴AO=OG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a，OD=$\sqrt{3}$OA=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$a，
∴OH=OD-DH=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$a-2a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$a，
∴GH=OG+OH=$\sqrt{3}$a，
∴$\frac{GH}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}a}{（3+\sqrt{3}）a}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．