Question

12．已知直线y=-2x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）在下列坐标系作函数y=-2x+4的图象；
（3）求△AOB的面积；
（4）若点C（a+1，2a+2）在一次函数在直线y=-2x+4上，求C点的坐标；
（5）在x轴上是否存在点P使得△OCP是等腰三角形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值，即可得出A、B两点的坐标；
（2）根据A，B两点的坐标画出函数图象即可；
（3）根据三角形的面积公式即可得出结论；
（4）直接把点C（a+1，2a+2）代入一次函数y=-2x+4求出a的值，进而可得出C点坐标；
（5）先根据勾股定理求出OC的长，再分OC=OP，OC=PC，PC=OP三种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵当y=0时，x=2；当x=0时，y=4，
∴A（2，0），B（0，4）；

（2）如图所示；

（3）S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×4=4；

（4）∵点C（a+1，2a+2）在一次函数在直线y=-2x+4上，
∴-2（a+1）+4=2a+2，解得a=0，
∵C（1，2）；

（5）∵C（1，2），
∴OC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
当OC=OP时，P₁（-$\sqrt{5}$，0）；
当OC=PC时，P₂（2，0）；
当PC=OP时，设P（x，0），则（x-1）²+2²=x²，解得x=$\frac{5}{2}$，故P₃（$\frac{5}{2}$，0）．
综上所示，P点坐标为P₁（-$\sqrt{5}$，0），P₂（2，0），P₃（$\frac{5}{2}$，0）．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点，一次函数的性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．