Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E，F分别在边AC，BC上）．若△CEF与△ABC相似．
（1）当AC=BC=2时，求AD的长；
（2）当AC=3，BC=4时，求AD的长．

Answer 1

分析 若△CEF与△ABC相似．
（1）当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形；
（2）当AC=3，BC=4时，分两种情况：
a．若CE：CF=3：4，如答图2所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；
b．若CF：CE=3：4，如答图3所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点．

解答 解：（1）若△CEF与△ABC相似．
当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示．

此时D为AB边中点，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{2}$；
（2）当AC=3，BC=4时，有两种情况：
a．若CE：CF=3：4，如答图2所示．

∵CE：CF=AC：BC，
∴EF∥AB，
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴cosA=$\frac{3}{5}$．
AD=AC•cosA=3×$\frac{3}{5}$=1.8；
b．若CF：CE=3：4，如答图3所示．

∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF=∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴此时AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×5=2.5．
综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5．

点评 本题考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质．第（2）问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意．