Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，过点的两条直线分别交轴于，两点，且、两点的纵坐标分别是一元二次方程的两个根.

（1）试问：直线与直线是否垂直？请说明理由.

（2）若点在直线上，且，求点的坐标.

（3）在（2）的条件下，在直线上寻找点，使以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）AC⊥AB，理由见解析（2）D的坐标为（2，1）（3）点P的坐标为（3，0），（，2），（3，3），（3，3＋）

【解析】

（1）求出方程x22x3＝0的两个根得到OB，OC，由tan∠ABO＝，tan∠ACO＝，推出∠ABO＝30°，∠ACO＝60°，即可解决问题；

（2）如图1中，过D作DE⊥x轴于E．由△ADE≌△ACO，推出DE＝OC＝1，AE＝OA＝，求出点D坐标；

（3）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB＝AP；②AB＝BP；③AP＝BP；然后分别求出P的坐标即可．

（1）结论：AC⊥AB．理由如下：

∵由x22x3＝0得：

∴x1＝3，x2＝1

∴B（0，3），C（0，1），

∵A（，0），B（0，3），C（0，1），

∴OA＝，OB＝3，OC＝1，

∴tan∠ABO＝，tan∠ACO＝，

∴∠ABO＝30°，∠ACO＝60°，

∴∠BAC＝90°，

∴AC⊥AB；

（2）如图1中，过D作DE⊥x轴于E．

∴∠DEA＝∠AOC＝90°，

∵tan∠ACO＝，

∵∠DCB＝60°

∵DB＝DC，

∴△DBC是等边三角形，

∵BA⊥DC，

∴DA＝AC，

∵∠＝∠OAC，

在△ADE和△ACO中，

，

∴△ADE≌△ACO，

∴DE＝OC＝1，AE＝OA＝

∴OE＝2，

∴D的坐标为（2，1）；

（3）设直线BD的解析式为：y＝mx＋n，直线BD与x轴交于点E，

把B（0，3）和D（2，1）代入y＝mx＋n，

∴，

解得，

∴直线BD的解析式为：y＝x＋3，

令y＝0代入y＝x＋3，

∴x＝3，

∴E（3，0），

∴OE＝3，

∴tan∠BEC＝，

∴∠BEO＝30°，

同理可求得：∠ABO＝30°，

∴∠ABE＝30°，

当PA＝AB时，如图2，

此时，∠BEA＝∠ABE＝30°，

∴EA＝AB，

∴P与E重合，

∴P的坐标为（3，0），

当PA＝PB时，如图3，

此时，∠PAB＝∠PBA＝30°，

∵∠ABE＝∠ABO＝30°，

∴∠PAB＝∠ABO，

∴PA∥BC，

∴∠PAO＝90°，

∴点P的横坐标为，

令x＝代入y＝x＋3，

∴y＝2，

∴P（，2），

当PB＝AB时，如图4，

∴由勾股定理可求得：AB＝=2，EB＝=6，

若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，

过点P1作P1F⊥x轴于点F，

∴P1B＝AB＝2，

∴EP1＝62，

∴sin∠BEO＝，

∴FP1＝3，

令y＝3代入y＝x＋3，

∴x＝3，

∴P1（3，3），

若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，

过点P2作P2G⊥x轴于点G，

∴P2B＝AB＝2，

∴EP2＝6＋2，

∴sin∠BEO＝，

∴GP2＝3＋，

令y＝3＋代入y＝x＋3，

∴x＝3，

∴P2（3，3＋），

综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（3，0），（，2），（3，3），（3，3＋）．