Question

18．在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）若BD=DC，求证：DE=DF；
（2）若∠BAC=120°，DE+DF=5，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据AAS证明△BDE≌△CDF即可得证；
（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠B=∠C=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得到DE=$\frac{1}{2}$BD，DF=$\frac{1}{2}$DC，两式相加，可知DE+DF=$\frac{1}{2}$BC，即可求出BC的长．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD=90°}\\{∠B=∠C}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF；
（2）解∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD，DF=$\frac{1}{2}$DC，
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$BD+$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$（BD+DC）=$\frac{1}{2}$BC．
∵DE+DF=5，
∴BC=10．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及含30度角的直角三角形的性质的综合运用，熟练地综合运用几何知识是解决问题的关键．