Question

5．已知：如图，AB∥CD，∠BMN与∠MND是一对同旁内角，MG、NG分别是∠BMN与∠MND的平分线，求证：MG⊥NG．
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠BMN+∠DNM=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵MG平分∠BMN，NG平分∠DNM　（已知）
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠BMN
∠2=$\frac{1}{2}$∠MND（角平分线定义）
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠BMN+∠DNM）=$\frac{1}{2}$×180°=90°
又∵∠1+∠2+∠G=180°（三角形内角和为180）
∴∠G=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°
∴MG⊥NG（垂直的定义）

Answer 1

分析 先根据平行线的性质得出，∠BMN+∠MND=180°，再由角平分线的定义以及三角形的内角和是180°，即可得出∠MGN=90°，进而可得出结论．

解答 解：∵AB∥CD（已知），
∴∠BMN+∠MND=180°（ 两直线平行，同旁内角互补  ），
∵MG平分∠BMN，NG平分∠MND（已知），
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠BMN，
∠2=$\frac{1}{2}$∠MND （角平分线定义），
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠BMN+∠DNM）=$\frac{1}{2}$×180°=90，
又∵∠1+∠2+∠G=180°（ 三角形内角和为180°），
∴∠G=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°，
∴MG丄NG（ 垂直的定义 ）．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；$\frac{1}{2}$∠BMN；$\frac{1}{2}$∠MND；三角形内角和为180；垂直的定义．

点评 本题考查的是平行线的性质、角平分线的定义及三角形内角和定理，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐含条件．