Question

4．已知关于x的一元二次方程x²-（m-1）x+m+2=0的一个根大于4，另一个根小于4，则m的取值范围为m＞$\frac{22}{3}$．

Answer 1

分析 设一元二次方程x²-（m-1）x+m+2=0的两根为a、b，根据根与系数的性质得a+b=m-1，ab=m+2，由于a-4＞0，b-4＜0，则（a-4）（b-4）＜0，所以m+2-4（m-1）+16＜0，解得m＞$\frac{22}{3}$，然后利用判别式的意义确定m的范围．

解答 解：设一元二次方程x²-（m-1）x+m+2=0的两根为a、b，则a+b=m-1，ab=m+2，
设a＞4，b＜4，即a-4＞0，b-4＜0，
∴（a-4）（b-4）＜0，
即ab-4（a+b）+16＜0，
∴m+2-4（m-1）+16＜0，解得m＞$\frac{22}{3}$，
∵△=（m-1）²-4（m+2）=m²-6m-7=（m-7）（m+1），
∴m＞$\frac{22}{3}$时，△＞0，
∴m的取值范围为m＞$\frac{22}{3}$．
故答案为m＞$\frac{22}{3}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．