Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的任意点，如果满足 (x≥0，a为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．

（1）当2≤a≤3时，

①在点中，满足此条件的特征点为__________________；

②⊙W的圆心为，半径为1，如果⊙W上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m的取值范围；

（2）已知函数，请利用特征点求出该函数的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）最小值为2．

【解析】

（1）①根据“特征点”的定义判断即可；

②如图2中，当⊙W1与直线y=x+2相切时，，当⊙W2与直线y=x+3相切时，，结合图象，⊙W与图中阴影部分有交点时，⊙W上存在满足条件的特征点．

（2）特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，的值最小（如图3中）．

解：（1）①∵1+2=3，1+3=4，2.5+0=2.5，

又∵2≤a≤3，

∴A，C是特征点，

故答案为：；

②如图1，∵2≤a≤3，

∴直线y=x+2和直线y=x+3之间的区域（包括两直线）上的点都为“特征点”，

直线y=x+2和直线y=x+3分别与x轴的交点为，，

当⊙W1与直线y=x+2相切时，设切点为M，

此时，，，则为等腰直角三角形，

∵⊙W1半径为1，即，

∴，则，

∴，

当⊙W2与直线y=x+3相切时，设切点为N，

此时，，，则为等腰直角三角形，

同理得：，则，

∴，

观察图象可知满足条件的m取值范围为：；

（2）根据，在第一象限画出的图象，

∴在此坐标系中图象上的点就是，

∵特征点满足（x≥0，a为常数），

∴在此图象上对应的就是，

∴将特征点的图象由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，出现最小值，

如图2，由x>0可将整理得：，

∴，解得：，（舍去），

∴，

∴，即的最小值为2．