Question

有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示：上层正方体底面的四个顶点恰好是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，且该塔形几何体的全面积（含最底层正方体的底面面积）超过639，则该塔形中正方体的个数至少是

 

个．

Answer 1

分析：设有n个正方体此正方体塔能看到表面及侧面和正方体裸露在外的上表面，根据题意知这n个正方体构成首相为8公比为

2

2

的等比序列．故这n个正方体的侧面又构成首相为64公比为

1

2

的等比序列．

解答：解：设有n个正方体此正方体塔能看到表面及侧面和正方体裸露在外的上表面，则n个正方体侧面面积之和S_n=

8×(1- 1 2n )

1- 1 2

=16×（1+

1

2n

），又知正方体裸露在上面的面积为64和最底层的面积64，故裸露在外面的表面积S_n'=64×（1+

1

2n

）+64+64=64+2^6-n+64+64=198+2^6-n，由题意知S_n'＞639．解之得n＞10．
故答案为10．

点评：本题需注意假如上面有一层立方体的话露出的表面积为：4×正方形的面积+一半正方形的面积，最底层的正方体露出的体积为：5×正方形的面积+一半正方形的面积．