Question

如图，已知三角形木块ABC，∠A=30°，∠B=90°，AC=10cm，一只蚂蚁在AC、AB间往返爬行．当蚂蚁从木块AC边的中点O出发，爬行到AB边上任意一点P后，又爬回到AC边上的任意一点Q后，再爬行到点B，在这一过程中这只蚂蚁爬行的最短距离为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：作O点关于AB的对称点M，作B点关于AC的对称点N，连接MN，交AB于P，交AC于Q，MN就是蚂蚁爬行的最短距离，根据轴对称的性质和SAS求得△OAK≌△BMK，得出BM=OA=5，∠A=∠KBM=30°，进而求得∠MBN=90°，根据30°的直角三角形的性质得出BM=BC，即可证得△ABC≌△NBM，从而得出MN的长．

解答：解：如图，作O点关于AB的对称点M，作B点关于AC的对称点N，连接MN，交AB于P，交AC于Q，MN就是蚂蚁爬行的最短距离，
∴OP=MP，BQ=NQ，
∵AC=10，AO=CO，
∴OA=5，
∵OM⊥AB，∠B=90°，
∴OM∥BC，
∵AO=CO，
∴AK=BK，
在△OAK和△BMK中，

AK=BK ∠OKA=∠BKM OK=MK

，
∴△OAK≌△BMK（SAS），
∴BM=OA=5，∠A=∠KBM=30°，
∵BN⊥AC，
∴∠ABG=60°，
∴∠MBN=90°，
∴AB=2BG=BN，
∵BC=

1

2

AC=5，
∴BM=BC，
在△ABC和△NBM中，

BC=BM ∠B=∠MBN=90° AB=BN

，
∴△ABC≌△NBM（SAS），
∴MN=AC=10cm．
故答案为10cm．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知30°的直角三角形的性质三角形全等的判定和性质及两点直线线段最短是解答此题的关键．