Question

如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，点F在BC上，∠EAF=∠DAE，则下列结论中正确的是

1. A.
   ∠EAF=∠FAB
2. B.
   BC=3FC
3. C.
   AF=AE+FC
4. D.
   AF=BC+FC

Answer 1

D
分析：把△ADE绕A点逆时针旋转90°得△ABG，根据旋转的性质得∠1=∠5，∠3=∠G，∠ADB=∠ABG，DE=BG，则∠GBF=180°，即G，B，F共线，再根据∠3=∠2+∠4，∠1=∠2，可得到∠G=∠5+∠4，则AF=GF；然后设正方形ABCD的边长为2a，BF=x，则AF=x+a，在Rt△ABF中，利用勾股定理得到x=a，则FC=a，AF=a，BC+FC=2a+a=a=AF，得到正确选项．
解答：解：把△ADE绕A点逆时针旋转90°得△ABG，如图，
∴∠1=∠5，∠3=∠G，∠ADE=∠ABG，DE=BG，
∴∠GBF=180°，即G，B，F共线，
又∵∠3=∠2+∠4，∠1=∠2，
∴∠3=∠5+∠4，
∴∠G=∠5+∠4，
∴AF=GF；
设正方形ABCD的边长为2a，则DE=a，
设BF=x，则AF=x+a，在Rt△ABF中，（x+a）²=4a²+x²，
解得x=a，
则FC=a，AF=a，
∴BC+FC=2a+a=a=AF．
所以D选项正确．
故选D．
点评：本题考查了旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，正方形的性质以及勾股定理．