Question

3．如图，△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，AD，AG分别是边BC，EF上的中线，∠1=∠2，连接BE，DG．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求证：△ABE∽△ADG．

Answer 1

分析 （1）由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；
（2）由（1）得：∠BAC=∠EAF，根据AD、AG分别为中线，利用三线合一及等量代换得到夹角相等，由（1）得△AEF∽△ABC，由相似得比例，变形后，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证．

解答 证明：（1）∵∠BAE=∠CAF，
∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，即∠BAC=∠EAF，
∵AB=AC，AE=AF，
∴∠AEF=∠ABC，
∴△AEF∽△ABC；
（2）由（1）得：∠BAC=∠EAF，
∵AB=AC，AE=AF，且AD、AG分别为中线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠EAG=$\frac{1}{2}$∠EAF，
∴∠BAD=∠EAG，
∴∠BAE=∠DAG，
由（1）得：△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AG}{AD}$，
∴$\frac{AE}{AG}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴△ABE∽△ADG．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．