Question

12．已知△ABC的三边a，b，c满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=4c+1}\\{a-b=2-c}\end{array}\right.$．
（1）求c的取值范围；
（2）是否存在这样a，b，c，使△ABC是等腰三角形？若存在，求出它的周长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的三边关系来求c的取值范围；
（2）需要分类讨论：a=b、b=c三种情况下的等腰三角形的周长．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=4c+1①}\\{a-b=2-c②}\end{array}\right.$．
由①+②，并整理得到：a=c+1．③
由①-②×2，并整理得到：b=2c-1，④
由③+④得，a+b=3c，
所以2-c＜c＜3c，
解得 1＜c≤2．

（2）存在这样的a，b，c，使△ABC是等腰三角形．理由如下：
当a=b时，c+1=2c-1，此时c=2，符合题意．
所以 a=b=3，
则该三角形的周长为：3+3+2=8．
当b=c时，c=2c-1，此时c=1，不符合题意；
所以存在这样的a，b，c，使△ABC是等腰三角形，且该三角形的周长为8．

点评 本题考查了三元一次方程组．解题时，需要考虑三角形的三边关系，还要注意a-b≥0这一条件．