Question

8．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，若AC=16，BD=12，则OF=4.8．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形OCED是平行四边形，再由菱形的性质得出对角线互相垂直，得出∠COD=90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质求出OC=$\frac{1}{2}$AC=8，OB=$\frac{1}{2}$BD=6，由勾股定理求出BC，再由△BOC面积的计算方法求出OF即可．

解答 （1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC=$\frac{1}{2}$AC=8，OB=$\frac{1}{2}$BD=6，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵△BOC的面积=$\frac{1}{2}$BC•OF=$\frac{1}{2}$OB•OC，
∴OF=$\frac{OB•OC}{BC}=\frac{6×8}{10}$=4.8．
故答案为：4.8．

点评 本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，由三角形的面积求出OF是解决问题的关键．