Question

20．在美国的一堂数学课上，老师给同学们布置了一道“任意等分一条线段”的题．其中有一个学生用了一种与众不同的方法．他在纸上做出了如图所示的一个图形，他以老师给的已知线段AB为一条边作矩形ABCD，设AC、BD交于点O₂，作O₂P₂⊥AB，则垂足P₂就是AB的二等分点：连接CP₂交BD于点O₃，作O₃P₃⊥AB，则垂足P₃就是AB的三等分点；再依次做下去，就得到AB的四等分点，…n等分点．你能用所学过的知识解释其中的缘由吗？

Answer 1

分析 根据四边形ABCD是矩形，得到∠DAB=90°，AB=CD，DO₂=BO₂，根据平行线分线段成比例定理得到BP₂=AP₂，于是得到垂足P₂就是AB的二等分点，根据相似三角形的性质得到$\frac{B{O}_{3}}{D{O}_{3}}$=$\frac{B{P}_{2}}{CD}$=$\frac{1}{2}$，根据平行线分线段成比例定理得到AP₃=2BP₃，于是得到垂足P₃就是AB的三等分点；于是得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，AB=CD，DO₂=BO₂，
∵O₂P₂⊥AB，
∴O₂P₂∥AB，
∴$\frac{B{O}_{2}}{D{O}_{2}}=\frac{B{P}_{2}}{A{P}_{2}}$=1，
∴BP₂=AP₂，
∴垂足P₂就是AB的二等分点，
∵AB∥CD，
∴△CDO₃∽△BP₂O₃，
∴$\frac{B{O}_{3}}{D{O}_{3}}$=$\frac{B{P}_{2}}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∵O₃P₃⊥AB，
∴O₃P₃∥AD，
∴$\frac{B{P}_{3}}{A{P}_{3}}$=$\frac{B{O}_{3}}{D{O}_{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴AP₃=2BP₃，
∴垂足P₃就是AB的三等分点；
∴再依次做下去，就得到AB的四等分点，…n等分点．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理．矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．