Question

18．某企业接到一批月饼生产任务，按要求在15天内完成，约定这批月饼的出厂价为每块6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人．设新工人王红第x天生产的月饼数量为y块，y与x满足下列关系式：y=$\left\{\begin{array}{l}{54x（0≤x≤5）}\\{30x+120（5≤x≤15）}\end{array}\right.$．
（1）如图，设第x天每块月饼的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若王红第x天创造的利润为W元，求W与x之间的函数表达式；
（2）王红第几天会获得756元的利润且保证成本较低？

Answer 1

分析 （1）由函数图象利用待定系数法求得0≤x＜9和9≤x≤15时每块月饼的成本是P与x的函数解析式，再分0≤x≤5、5＜x≤9、9＜x≤15三种情况根据总利润=每块月饼的利润×销售量可得答案；
（2）在0≤x≤5和5＜x≤9时根据一次函数的性质可得最大值均小于756，继而可求得9＜x≤15时利润为756元的x的值，再结合成本较低确定x的值，代入P=30x+120可得答案．

解答 解：（1）由图象得，当0≤x＜9时，p=4.1；
当9≤x≤15时，设P=kx+b，
把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=4.1}\\{15k+b=4.7}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=0.1}\\{b=3.2}\end{array}\right.$，
∴P=0.1x+3.2，
①0≤x≤5时，w=（6-4.1）×54x=102.6x；
②5＜x≤9时，w=（6-4.1）×（30x+120）=57x+228，
③9＜x≤15时，w=（6-0.1x-3.2）×（30x+120）=-3x²+72x+336；

（2）当0≤x≤5时，w=102.6x中，当x=5时，w_最大=513＜756；
当5＜x≤9时，w=57x+228，
∵x是整数，
∴当x=9时，w_最大=741＜756；
当9＜x≤15时，由-3x²+72x+336=756解得x₁=10，x₂=14，
当x=10时，P=30x+120=420，
当x=14时，P=30x+120=540，
∴第10天会获得756元的利润且保证成本较低．

点评 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．