Question

【题目】如图，已知在四边形ABCD中∠A=∠ABC=90°，点E是CD的中点，△ABD与 △EBD关于直线BD对称，，．

（1）求点A和点E之间的距离；

（2）联结AC交BE于点F，求的值．

Answer 1

【答案】（1） AE= ；（2）

【解析】

（1）连接AE交BD于H，根据△ABD与 △EBD关于直线BD对称， 得AE⊥BD，AH=HE，利用勾股定理求出BD=2，利用求出即可得到答案；

（2）根据∠A=90°，， BD=2求出∠ABD=30°，由△ABD与 △EBD关于直线BD对称，得到∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，由点E是CD的中点，求出BC=BD=2，∠CBE=∠DBE=30°，求出∠M =30°，AM=3，利用AM∥BC，，即可求出.

（1）连接AE交BD于H，

∵△ABD与 △EBD关于直线BD对称，

∴AE⊥BD，AH=HE，

∵∠A=90°，，，

∴BD=2，

∵,

∴，

∴，

∴AE=；

（2）延长AD、BE交于点M，∵∠A=90°，， BD=2，

∴sin∠ABD=，

∴∠ABD=30°，

∵△ABD与 △EBD关于直线BD对称，

∴∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，

∵点E是CD的中点，

∴BE垂直平分CD，

∴BC=BD=2，

∴∠CBE=∠DBE=30°，

∵∠A=∠ABC=90°，

∴AD∥BC，

∴∠M=∠CBE=30°，

∴AM=，

∵AM∥BC，

∴，

∴.