Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点是A(1，3)，将OA绕点O逆时针旋转后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与的边分别交于M，N两点，将以直线MN为对称轴翻折，得到．

设点P的纵坐标为m．

①当在内部时，求m的取值范围；

②是否存在点P，使,若存在，求出满足m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】；（2）①；②存在，满足m的值为或．

【解析】

（1）作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，然后证明△AOD≌△BOE，则AD=BE，OD=OE，即可得到点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；

（2）①由点P为线段AC上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P与点A重合时；点P与点C重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；

②根据题意，可分为两种情况进行当点M在线段OA上，点N在AB上时；当点M在线段OB上，点N在AB上时；先求出直线OA和直线AB的解析式，然后利用m的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m的值．

解：（1）如图：作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，

∴∠ADO=∠BEO=90°，

∵将OA绕点O逆时针旋转后得到OB，

∴OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，

∴∠AOD=∠BOE，

∴△AOD≌△BOE，

∴AD=BE，OD=OE，

∵顶点A为（1，3），

∴AD=BE=1，OD=OE=3，

∴点B的坐标为（3，），

设抛物线的解析式为，

把点B代入，得

，

∴，

∴抛物线的解析式为，

即；

（2）①∵P是线段AC上一动点，

∴，

∵当在内部时，

当点恰好与点C重合时，如图：

∵点B为（3，），

∴直线OB的解析式为，

令，则，

∴点C的坐标为（1，），

∴AC=，

∵P为AC的中点，

∴AP=，

∴，

∴m的取值范围是；

②当点M在线段OA上，点N在AB上时，如图：

∵点P在线段AC上，则点P为（1，m），

∵点与点A关于MN对称，则点的坐标为（1，2m3），

∴，，

设直接OA为，直线AB为，

分别把点A，点B代入计算，得

直接OA为；直线AB为，

令，

则点M的横坐标为，点N的横坐标为，

∴；

∵；

；

又∵，

∴，

解得：或（舍去）；

当点M在边OB上，点N在边AB上时，如图：

把代入，则，

∴，，

∴，

，

∵，

∴，

解得：或（舍去）；

综合上述，m的值为：或．