Question

【题目】已知，抛物线与轴交于，两点，顶点为．

（1）当，时，求线段的长度；

（2）当，若点到轴的距离与点到轴的距离相等，求该抛物线的解析式；

（3）若，当时，的最大值为2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）(P在第一象限)，(P在第四象限)；（3）m的值为或10+2

【解析】

（1）把a=1,m=2代入函数解析式，得到y＝x2﹣4x+3，求出A、B两点坐标，问题得解；

（2）把代入函数解析式，得到y＝2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5=，确定点P的坐标（m,2m-5），即点P在直线 y=2x-5上，根据点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，分点P在第一象限和第四象限讨论即可；

（3）当a＝，抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+2m﹣5．分三类讨论①当m＞2m﹣2，即m＜2时，（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，2m﹣5＝2；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，分别解方程，舍去不合题意者，问题得解．

解：（1）当a=1,m=2时；y＝x2﹣4x+3

当y=0时，x2﹣4x+3=0；

AB=3-1=2

（2）y＝2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5=

∵顶点为P，∴P（m,2m-5）

∴点P在直线 y=2x-5上

∵点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等

∴当点P在第一象限时，m=2m-5，m=5，该抛物线的解析式为

当点P在第四象限时，m=-（2m-5），m=，该抛物线的解析式为

（3）a＝，抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+2m﹣5．

分三种情况考虑：

①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，

整理，得：m2﹣14m+39＝0，

解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；

②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，

解得：m＝；

③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，

整理，得：m2﹣20m+60＝0，

解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．

综上所述：m的值为或10+2．