Question

13．如图，P为正方形ABCD边BC上一点，F在AP上，AF=AD，EF⊥AP于F交CD于点E，G为CB延长线上一点，且BG=DE．
（1）求证：∠BAG=$\frac{1}{2}$∠DAP；
（2）求证：AP=GP；
（3）若DE=3，AD=5，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE，由正方形的性质及其条件可以得出△ABG≌△ADE，就有∠BAG=∠DAE，再证明Rt△AFE≌Rt△ADE就可以得出结论；
（2）利用（1）中所求，得出∠DAE=∠GAB，可得：∠GAB=∠EAF，进而得出∠G=∠GAP，进而得出答案；
（3）由条件可以得出∠GAP=∠BAE，进而可以得出∠GAP=∠BGA，在Rt△ABP中，由勾股定理就可以得出结论．

解答 （1）证明：连接AE
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABG=∠ADC=90°．
在△ABG和△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADC}\\{BG=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴∠BAG=∠DAE．
在Rt△AFE和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AD}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE=∠FAE，
∴∠BAG=$∠DAE=\frac{1}{2}$∠DAP；

（2）证明：由（1）中△ABG≌△ADE，则∠DAE=∠GAB，
可得：∠GAB=∠EAF，
故∠GAE=∠BAD=90°，
则∠GAP=90°-∠EAP，
又∵∠G=90°-∠GAB，
∴∠G=∠GAP，
∴GP=AP；

（3）解：∵∠BAG=∠DAE=∠FAE，
∴∠BAG+∠BAP=∠FAE+∠BAP，
∴∠GAP=∠BAE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠GAP=∠DEA．
∵△ABG≌△ADE，
∴∠BGA=∠DEA，BG=DE，
∴∠GAP=∠BGA，
∴AP=GP
设AP=x，则GP=x，BP=GP-BG=x-3
在Rt△BAP中AB²+BP²=AP²，
∴5²+（x-3）²=x²，
解得：x=$\frac{17}{3}$，
答：AP的长为$\frac{17}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的判定与性质的运用，解答时运用勾股定理求值和证明三角形全等是关键．