Question

12．如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S₁，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S₂，…按照此规律继续下去，则S₂₀₁₅的值为$\frac{1}{{{2^{2012}}}}$．

Answer 1

分析 根据题意可知第2个正方形的边长是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$×2，则第3个正方形的边长是（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$）²×2，…，进而可找出规律，第n个正方形的边长是（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1×2，那么易求S₂₀₁₅的值．

解答 解：根据题意：第一个正方形的边长为2；
第二个正方形的边长为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2；
第三个正方形的边长为：（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$）²×2，
…
第n个正方形的边长是（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$）^n-1×2，
所以S₂₀₁₅的值是（ $\frac{1}{2}$）²⁰¹²即$\frac{1}{{2}^{2012}}$．
故答案为$\frac{1}{{2}^{2012}}$．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是长特殊到一般，探究规律后，应用规律解决问题，属于中考常考题型．