Question

在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如

5

3

，

2 3

，

2

3 +1

一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

5

3

=

5× 3

3 × 3

=

5

3

3

2 3

=

2×3 3×3

=

6

3

2

3 +1

=

2×( 3 -1)

( 3 +1)( 3 -1)

=

2×( 3 -1)

( 3 )2-12

=

3

-1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

2

3 +1

还可以用以下方法化简：

2

3 +1

=

3-1

3 +1

=

( 3 )2-12

3 +1

=

( 3 +1)( 3 -1)

3 +1

=

3

-1
（1）请用不同的方法化简

2

5 + 3

；
（2）化简：

1

3 +1

+

1

5 + 3

+

1

7 + 5

+…+

1

2n+1 + 2n-1

．

Answer 1

分析：（1）分式的分子和分母都乘以

5

-

3

，即可求出答案；把2看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．

解答：解：（1）①

2

5 + 3

=

2( 5 - 3 )

( 5 + 3 )( 5 - 3 )

=

5

-

3

②

2

5 + 3

=

5-3

5 + 3

=

( 5 - 3 )( 5 + 3 )

( 5 + 3 )

=

5

-

3

．

（2）原式=

3 -1+ 5 - 3 + 7 - 5 +…+ 2n+1 - 2n-1

2

=

2n+1 - 3

2

．

点评：本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，主要考查学生的计算和化简能力．