Question

在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如

5

3

， 

2 3

 ， 

2

3 +1

一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

5

3

=

5× 3

3 × 3

=

5

3

3

(一) ，

2 3

=

2×3 3×3

=

6

3

(二)，

2

3 +1

=

2×( 3 -1)

( 3 +1)( 3 -1)

=

2( 3 -1)

( 3 )2-12

=

3

-1(三)，

2

3 +1

还可以用一下方法化简：

2

3 +1

=

3-1

3 +1

=

( 3 )2-12

3 +1

=

( 3 +1)( 3 -1)

3 +1

=

3

-1（四）
以上这种化简的方法叫做分母有理化．
（1）请化简

2

5 + 3

=

 

．
（2）若a是

2

的小数部分则

3

a

=

 

．
（3）矩形的面积为3

5

+1，一边长为

5

-2，则它的周长为

 

．
（4）化简

2

1+ 5

+

2

5 + 9

+

2

9 + 13

+…+

2

4n-3 + 4n+1

．

Answer 1

分析：（1）分子、分母同乘以最简有理化因式

5

-

3

，化简即可；
（2）由题意可得a=

2

-1，代入分母有理化即可．
（3）首先求另一边长为：

3 5 + 1

5 - 2

，化简再按矩形的周长公式解答；
（4）把各加数分母有理化，再加减即可．

解答：解：（1）

2

5 + 3

=

2( 5 - 3 )

( 5 + 3 )( 5 - 3 )

=

5

-

3

，
故答案为：

5

-

3

；

（2）∵

1

＜

2

＜

4

，a是

2

的小数部分，
∴a=

2

-1，
∴

3

a

=

3

2 -1

=3 

2

 +3．
故答案为：3

2

+3；

（3）另一边长为：

3 5 + 1

5 - 2

=

(3 5 +1)( 5 +2)

( 5 -2)( 5 +2)

=17+7

5

，
周长为：2（17+7

5

+

5

-2）=30+16

5

，
故答案为：30+16

5

；

（4）

2

1+ 5

+

2

5 + 9

+

2

9 + 13

+…+

2

4n-3 + 4n+1

=

2( 5 -1)

5-1

+

2( 9 - 5 )

9-5

+

2( 13 - 9 )

13-9

+…+

2( 4n+1 - 4n-3 )

(4n+1)-(4n-3)

=

5 - 1+ 9 - 5 + 13 - 9 +… 4n+1 - 4n-3

2

=

4n+1 -1

2

．

点评：此题考查分母有理化，分母有理化是化简二次根式的一种重要方法．分母有理化时，应结合题目的具体特点，选择适当的方法．