Question

如图，AB是⊙O的直径，过O作弦AC的垂线，交⊙O于点D，分别交AE、AC于点E、点F，已知∠BDC=∠E．
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=10，sin∠BDC=

3

5

，求AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）判定切线时判定AE⊥AB即可；
（2）利用锐角三角函数的定义求得AF的长，然后利用垂径定理的知识得到AC=2AF即可求解．

解答：（1）证明：∵∠BDC=∠E（已知），∠BDC=∠CAB
∴∠E=∠CAB，
∵EF⊥AC于点F，即∠AFE=90°
∴∠E+∠EAF=90°
∴∠CAB+∠EAF=90°，
即AE⊥AB，且AB是圆的直径
∴AE是圆O的切线；

（2）解：∵∠E=∠BDC，
∴sin∠E=sin∠BDC=

3

5

∴Rt△AEF中，sin∠E=

AF

AE

，且AE=10
∴AF=6，
∵OF⊥AC于点F，
∴AC=2AF=12（垂径定理）．

点评：本题考查了切线的判定等知识，综合性较强，但难度不是很大．