Question

【题目】已知，抛物线ymx22mx3m(m＞0)，与x轴交于A、B两点(A在B的左边)，与y轴交于C点．M为抛物线的顶点．

（1）求A、B两点的坐标．

（2）当m=1时，抛物线BM段有点P(不与M重合)，使得SPBCSMBC．求P点的坐标．

（3）当m=1时，抛物线上有点N，使得∠NCA=2∠BCA．求N点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A(－1，0)，B(3，0)；（2）P(2，－3)；（3）．

【解析】

（1）令y=0，代入ymx22mx3m(m＞0)，即可得到答案；

（2）先求出B，M，C的坐标，由SPBCSMBC，得MP∥BC，用待定系数法，求出直线BC的解析式和直线MP的解析式，结合yx22x3，联立得到方程组，进而即可得到答案；

（3）作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，设CH交抛物线于点N，此时，∠NCA=2∠BCA，求出A，B，C的坐标，易得∠ABH=90°，AB=HB=4，从而得点H的坐标，进而得直线CH的函数解析式，结合yx22x3，联立得到方程组，进而即可得到答案．

（1）令y=0，代入ymx22mx3m(m＞0)，得：mx22mx3m=0，解得：，

∵抛物线ymx22mx3m(m＞0)，与x轴交于A、B两点(A在B的左边)，

∴A(－1，0)，B(3，0)；

（2）∵当m=1时，抛物线yx22x3，

∴B(3，0)，M(1，-4)，C(0，-3)，

∵SPBCSMBC，

∴点M到BC的距离与点P到BC的距离相等，即MP∥BC，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

把B(3，0)， C(0，-3)代入上式得：，解得：，

∴直线BC的解析式为：y=x-3，

设直线MP的解析式为：y=x+m，

把M(1，-4)代入上式，得-4=1+m，解得：m=-5，

∴直线MP的解析式为：y=x-5，

又∵点P在抛物线BM段，

∴联立，解得：，

∴P(2，－3)；

（3）作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，设CH交抛物线于点N，此时，∠NCA=2∠BCA，

∵当m=1时，抛物线yx22x3，

∴A(-1，0)，B(3，0)， C(0，-3)，

∴OB=OC=3，

∴∠ABC=∠HBC=45°，

∴∠ABH=90°，

∵AB=HB=4，

∴H(3，-4)，

设直线CH的解析式为：y=kx+b，

把C(0，-3)，H(3，-4)代入上式得：，解得：，

∴直线CH的解析式为：y=x-3，

联立，解得：，

∴．