Question

11．如图1，点Q为y轴负半轴上的一点，以点Q为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，己知点A（-2，0），D（0，-2$\sqrt{3}$），点P为弧$\widehat{ADB}$上一动点．
（1）判断△ABD的形状；
（2）如图2，当点P运动时，求$\frac{|PA+PB|}{PC}$的值；
（3）连PD，∠PCD=30°，求$\frac{|PA-PB|}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （1）结论：△ABD是等边三角形，只要证明DA=DB，∠OAD=60°即可．
（2）如图2中，作CE⊥PB于E，CF⊥PA于F，连接AC、BC、AD、BD．首先证明Rt△CFA≌Rt△CEB，推出AF=BE，Rt△PCF≌△PCE，推出PF=PE，推出PA+PB=（PF-AF）+（PE+BE）=2PE，因为△ABD是等边三角形，推出∠APB=∠ADB=60°，推出∠APC=∠CPB=30°，根据$\frac{|PA+PB|}{PC}$=$\frac{2PE}{PC}$=2cos30°，即可解决问题．
（3）首先证明∠FCA=∠PCD=30°，PC=2CF，根据$\frac{|PA-PB|}{PC}$=$\frac{2AF}{2FC}$=$\frac{AF}{FC}$=tan30°计算即可解决问题．

解答 解：（1）结论：△ABD是等边三角形，
理由：如图1中，连接AD、BD．

∵QO⊥AB，
∴OA=OB，
∴DA=DB，
∵A（-2，0），D（0，-2$\sqrt{3}$），
∴OA=2，OD=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠OAD=$\frac{OD}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OAD=60°，
∴△ABD是等边三角形．

（2）如图2中，作CE⊥PB于E，CF⊥PA于F，连接AC、BC、AD、BD．

∵QC⊥AB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，AC=BC，
∴∠CPA=∠CPB，
∴CF=CE，
在Rt△CFA和Rt△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CFA≌Rt△CEB，
∴AF=BE，
同理可证Rt△PCF≌△PCE，
∴PF=PE，
∴PA+PB=（PF-AF）+（PE+BE）=2PE，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠APB=∠ADB=60°，
∴∠APC=∠CPB=30°，
∴$\frac{|PA+PB|}{PC}$=$\frac{2PE}{PC}$=2cos30°=$\sqrt{3}$．

（3）由（2）可知：|PA-PB|=（PF-AF）-（PE+BE）|=2AF．
∵∠CPF=∠CDA=30°，∠CAD=∠CFP=90°，
∴∠FCP=∠ACD，
∴∠FCA=∠PCD=30°，
∴PC=2CF，
∴$\frac{|PA-PB|}{PC}$=$\frac{2AF}{2FC}$=$\frac{AF}{FC}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查圆综合题、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．