Question

11．如图，以△ABC的三边AB、BC、CA分别为边，在BC的同侧作等边三角形ABD，BCE，CAF，求证：四边形ADEF是平行四边形．

Answer 1

分析 由△ABD，△EBC都是等边三角形，易证得△DBE≌△ABC（SAS），则可得DE=AC，又由△ACF是等边三角形，即可得DE=AF，同理可证得AD=EF，即可判定四边形ADEF是平行四边形．

解答 证明：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△ABC（SAS）．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，
∴四边形ADEF是平行四边形．

点评 此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△DBE≌△ABC≌△FEC是关键．