Question

19．如图，P，Q分别是双曲线y=$\frac{k}{x}$在第一、三象限上的点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A，B，点C是PQ与x轴的交点．设△PAB的面积为S₁，△QAB的面积为S₂，△QAC的面积为S₃，则有（　　）

• A． S₁=S₂≠S₃
• B． S₁=S₃≠S₂
• C． S₂=S₃≠S₁
• D． S₁=S₂=S₃

Answer 1

分析 根据题意可以证明△DBA和△DQP相似，从而可以求出S₁，S₂，S₃的关系，本题得以解决．

解答 解：延长QB与PA的延长线交于点D，如右图所示，
设点P的坐标为（a，b），点Q的坐标为（c，d），
∴DB=a，DQ=a-c，DA=-d，DP=b-d，
∵DB•DP=a•（b-d）=ab-ad=k-ad，
DA•DQ=-d（a-c）=-ad+cd=-ad+k=k-ad，
∴DB•DP=DA•DQ，
即$\frac{DB}{DQ}=\frac{DA}{DP}$，
∵∠ADB=∠PDQ，
∴△DBA∽△DQP，
∴AB∥PQ，
∴点B到PQ的距离等于点A到PQ的距离，
∴△PAB的面积等于△QAB的面积，
∵AB∥QC，AC∥BQ，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AC=BQ，
∴△QAB的面积等于△QAC，
∴S₁=S₂=S₃，
故选D．

点评 本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．