Question

16．如图，在?ABCD中，AB=6，AD=10，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AG=2.5，则△CEF的周长为$\frac{34}{3}$．

Answer 1

分析 由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，求出CE、CF的长，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，求得AG的长，再证明∴△ABE∽△FCE，求出EF的长，即可求得△CEF的周长．

解答 解：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=6，BC=AD=10，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=6，
同理；DF=AD=10，
∴CE=BC-BE=4，CF=DF-CD=4，BE：CE=6：4=3：2．
∵BG⊥AE，垂足为G，
∴AG=EG=2.5，
∴AE=5，
∵AB∥FC，
∴△ABE∽△FCE，
∴AE：EF=BE：CE=3：2，
∴EF=$\frac{2}{3}$AE=$\frac{2}{3}$×5=$\frac{10}{3}$，
∴△CEF的周长=CE+CF+EF=4+4+$\frac{10}{3}$=$\frac{34}{3}$；
故答案为：$\frac{34}{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形和三角形相似是解决问题的关键．