题目内容
如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．
（1）求点Q运动的速度；
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．
（1）点Q运动的速度是1cm/s；（2）
；（3）存在，t=
或t=
.
【解析】
试题分析：（1）根据函数图象中E点所代表的实际意义求解．E点表示点P运动到与点B重合时的情形，运动时间为3s，可得AB=6cm；再由S△APQ=
，可求得AQ的长度，进而得到点Q的运动速度；
（2）函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P在线段CD上继续运动的情形．如答图2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围；
（3）当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示，求出t的值；当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示，求出t的值．
试题解析：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，则菱形的边长AB=2×3=6cm．此时如答图1所示：
AQ边上的高h=AB•sin60°=6×
=
cm,
S=S△APQ=
AQ•h=AQ×3
=,解得AQ=3cm.
∴点Q的运动速度为：3÷3=1cm/s．（2）由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形．如答图2所示：
点Q运动至点D所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至终点D所需时间为18÷2=9s．
因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围为：6≤t≤9．过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则PE=PD•sin60°=（18-2t）×,
S=S△APQ=AD•PE=×6×（−
+
）=
.
∴FG段的函数表达式为：S=（6≤t≤9）．
（3）菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°=18,
当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示．
此时△APQ的面积S=AQ•AP•sin60°=t•2t×=
,
根据题意，得=
,
解得：t=s,
当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示．
此时，有S梯形ABPQ=
S菱形ABCD，即（2t-6+t）×6×=×18,
解得t=s,
答：存在，当t=或时，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分．
考点：1、相似形综合题；2、动点问题的函数图象．
寒假天地重庆出版社系列答案
按逆时针方向旋转n度后恰好与△ACD重合．
如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC的中点，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE=∠B．
已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．
（2012•上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．