Question

如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．
（1）求证：CE=CF；
（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．

Answer 1

分析：（1）由菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，易证得△BCE≌△DCF（SAS），则可得CE=CF；
（2）由平行线的性质，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易证得∠G=∠HCG，则可得CH=GH，则可证的结果．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，
∵点E、F分别为AB、AD的中点，
∴BE=

1

2

AB，DF=

1

2

AD，
∴BE=DF，
在△BCE和△DCF中，

BC=DC ∠B=∠D BE=DF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF；

（2）证明：延长BA与CF，交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF∥BC，AB∥CD，
∴∠G=∠FCD，
∵点F分别为AD的中点，且AG∥CD，
∴AG=AB，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠ECB=∠DCF，
∵∠CHB=2∠ECB，
∴∠CHB=2∠G，
∵∠CHB=∠G+∠HCG，
∴∠G=∠HCG，
∴GH=CH，
∴CH=AH+AG=AH+AB．

点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．