题目内容
如图，已知点C在⊙O上，AC=
AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），连结BP，过点C作直线PB的垂线CD交直线PB于D点，连结CP．
（1）如图1，在点P运动过程中，
①∠CPD的度数变化吗？若变化，说明理由；若不变，求∠CPD的度数；
②当点P运动到什么位置时，△PCD与△ABC全等．（直接在图1中标出点P的位置）
（2）如图2，在点P运动过程中，当CP⊥AB时，求∠BCD的度数．
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（1）如图1，在点P运动过程中，
①∠CPD的度数变化吗？若变化，说明理由；若不变，求∠CPD的度数；
②当点P运动到什么位置时，△PCD与△ABC全等．（直接在图1中标出点P的位置）
（2）如图2，在点P运动过程中，当CP⊥AB时，求∠BCD的度数．
考点：圆周角定理,全等三角形的判定,含30度角的直角三角形
专题：
分析：（1）①由AC=
AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，易求得∠ABC=30°，继而可得∠CPD=∠A=60°；
②当CP是直径时，△PCD与△ABC全等；
（2）由（1）易求得∠PCD的度数，又由垂径定理，可求得∠ACP的度数，继而求得答案．
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②当CP是直径时，△PCD与△ABC全等；
（2）由（1）易求得∠PCD的度数，又由垂径定理，可求得∠ACP的度数，继而求得答案．
解答：
解：（1）①∠CPD的度数不变．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=
AB，
∴∠ABC=30°，
∴∠A=90°-∠ABC=60°，
∴∠CPD=∠A=60°；
②如图：
（2）∵∠A=60°，
∴∠BPC=∠A=60°，
∵CD⊥PB，
∴∠PCD=90°-∠BPC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴
=
，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD═90°-30°-30°=30°．
解：（1）①∠CPD的度数不变．∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=
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∴∠ABC=30°，
∴∠A=90°-∠ABC=60°，
∴∠CPD=∠A=60°；
②如图：
（2）∵∠A=60°，
∴∠BPC=∠A=60°，
∵CD⊥PB，
∴∠PCD=90°-∠BPC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴
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| AC |
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| AP |
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD═90°-30°-30°=30°．
点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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