如图.形如量角器的半圆O的直径DE=12cm.形如三角板的△ABC中.∠ACB=90°.∠ABC=30°.BC=12cm.半圆O以1cm/s的速度从左向右运动.在运动过程中.点D.E始终在直线BC上.设运动时间为t时.半圆O在△ABC的左侧.OC=8cm．(提示:直角三角形中.30度所对的直角边是斜边的一半.反之成立)时.点A与圆O的关系.当t=8(s)时.点A与圆O的关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=0（s）时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．（提示：直角三角形中，30度所对的直角边是斜边的一半，反之成立）
（1）当t=0（s）时，点A与圆O的关系，当t=8（s）时，点A与圆O的关系；
（2）当t为何值时，△ABC的边AB所在的直线与半圆O相切？
（3）当△ABC的一边AB所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

分析（1）根据线段AC的长度可知当t=0（s）时，点A在半圆外，由条件可知CO=8，在Rt△ACO中可求得AO=4$\sqrt{7}$，所以当t=8时点A在半圆外；
（2）过C点作CF⊥AB，交AB于F点，当半圆O与△ABC的边AB相切时，圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时点O运动了8cm，所求运动时间为t=4；当点O运动到B点的右侧，且OB=12cm时，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q，利用直角三角形可求得点O运动了32cm，可求出时间t；
（3）由（2）可知当△ABC的一边AB所在的直线与半圆O所在的圆相切时只有当t=4时符合条件，利用圆扇形的面积可重叠部分的面积．

解答解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，
∴AC=4$\sqrt{3}$，
当t=0时，AO=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=4$\sqrt{7}$＞6，
∴点A在半圆外，
当t=8时，如图，

此时OC=8，在Rt△ACO中，AC=4$\sqrt{3}$，则AO=4$\sqrt{7}$＞6，
所以点A在半圆外；
（2）①如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；

∵∠ABC=30°，BC=12cm，
∴FO=6cm；
当半圆O与△ABC的边AB相切时，
又∵圆心O到AB的距离等于6cm，
且圆心O又在直线BC上，
∴O与C重合，
即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；
此时点O运动了8cm，所求运动时间为t=8÷1=8（s），
②当点O运动到B点的右侧，且OB=12cm时，如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．

在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，则OQ=6cm，
即OQ与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32cm．
所求运动时间为：t=32÷1=32s，
综上可知当t=8s或32s时，AB与半圆O所在的圆相切；
（3）当半圆O与AB边相切于M时，如图1，则半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分S=$\frac{1}{4}$π×6²=9π．
答：当△ABC的一边AB所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分面积为9π．