Question

16．如图，抛物线y=-x²+x+6与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，抛物线与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过点C交x轴于E（6，0）．
（1）写出顶点D的坐标和直线l的解析式．
（2）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于NN连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用y轴上点的坐标特征写出C（0，6），再利用配方法得到D点坐标，然后利用待定系数法求直线l的解析式；
（2）直线CN交x轴于P，作PH⊥l于H，如图，线CN交x轴于P，作PH⊥l于H，如图，利用折叠的性质得CN平分∠MCM′，则根据角平分线的性质得PO=PH，设OP=t，则PH=t，PE=6-t，证明△PEH为等腰直角三角形得到6-t=$\sqrt{2}$t，解得t=6（$\sqrt{2}$+1），则P（6（$\sqrt{2}$+1），0），接着利用待定系数法求出直线PC的解析式为y=-（$\sqrt{2}$+1）x+6，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+x+6}\\{y=-（\sqrt{2}+1）x+6}\end{array}\right.$得N点坐标，从而得到Q点坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=-x²+x+6=6，则C（0，6），
y=-x²+x+6=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{23}{4}$，则D点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{23}{4}$），
设直线l的解析式为y=kx+b，
把C（0，6），E（6，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=-x+6；
（2）存在．
直线CN交x轴于P，作PH⊥l于H，如图，利用折叠的性质得CN平分∠MCM′，则根据角平分线的性质得PO=PH，
设OP=t，则PH=t，PE=6-t，
∵OC=OE，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴∠PEH=45°，
∴△PEH为等腰直角三角形，
∴PE=$\sqrt{2}$PH，即6-t=$\sqrt{2}$t，解得t=6（$\sqrt{2}$+1），
∴P（6（$\sqrt{2}$+1），0），
设直线PC的解析式为y=mx+n，
把C（0，6），P（6（$\sqrt{2}$+1），0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{6（\sqrt{2}+1）m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-（\sqrt{2}+1）}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直线PC的解析式为y=-（$\sqrt{2}$+1）x+6，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+x+6}\\{y=-（\sqrt{2}+1）x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}}\\{y=2-3\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴N（2+$\sqrt{2}$，2-3$\sqrt{2}$），
∴QN⊥x轴，
∴Q（2+$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握角平分线的性质、折叠的性质和二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求一次函数的解析式，能利用解方程组求抛物线与直线的交点坐标；理解坐标与图形性质．