Question

6．定义：一次函数y=ax+b的特征数为[a，b]，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的特征数为[1，k]．
（1）若特征数是[1，p-1]的一次函数为正比例函数，求p的值；
（2）如图，若一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象分别交于第一、第三象限的A、B两点，与y轴正半轴交于点C，点A的坐标为（m，2），点B的坐标为（-2，n），tan∠AOC=$\frac{1}{2}$．求该一次函数和反比例函数的特征数．

Answer 1

分析 （1）根据正比例函数的定义和特征数的定义得b=0，即p-1=0，解得p=1；
（2）过点A作AD⊥y轴于D，如图，则AD=2，OD=m，在Rt△OAD中，利用∠AOD的正切可计算求出m=1，则A（1，2），再利用待定系数法求出反比例函数解析式，接着利用反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据特征数的定义求解．

解答 解：（1）∵一次函数y=ax+b为正比例函数，
∴b=0，即p-1=0，
∴p=1；
（2）过点A作AD⊥y轴于D，如图，则AD=2，OD=m，
在Rt△OAD中，∵tan∠AOD=$\frac{AD}{OD}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{m}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴m=1，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$，
把B（-2，n）代入y=$\frac{2}{x}$得n=$\frac{2}{-2}$=-1，
∴B（-2，-1），
把A（1，2）、B（-2，-1）代入y=ax+b$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{-2a+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=x+1，
∴一次函数的特征数为[1，1]，反比例函数的特征数为[1，2]．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了阅读理解能力．